سرگرمی با هندسه

آشنایی با زیبایی های هندسه

انیمیشن تالس

یادی از تالس


+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هفتم اردیبهشت 1389ساعت 13:12  توسط ادریس فتحی  | 

هندسه برای همه


هِندِسه مطالعه انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخه‌ قدیمی ریاضیات است. واژه هندسه عربی شده واژه «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هردو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.

تاریخچه هندسه

احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌‌برد و لازم می‌‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب‌ را ابداع کردند. آنها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دبگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.

در آغاز هندسه برپایه دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند. یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیه هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مساله‌ای به وسیله‌ی قضا‌یا و حکمها ثابت می گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان

طالس بود توانست قضیه‌ای را که به‌نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود. اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آنها را به طور منظم، در یک مجموعه ۱۳ جلدی قرار داد. این کتابها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعه هندسه به کار می‌‌رفتند. براساس این قوانین، هندسه اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌‌کنیم.خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آنان احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (572-500 ق.م) و زنون (490 ق.م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند. در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم نمود و جدولی براساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوسها را به دست می‌‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده است. بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سده پنجم میلادی آپاستامبا، در سده ششم، آریابهاتا، در سده هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.

تقسیم بندی هندسه

هنـدسه مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌گردد:

هنـدسه مسطحه

هندسه فضائی

هندسه خطی.

در هندسه مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسه فضایی، مطالعه اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعبها ،استوانه ها، مخروط ها، کره‌ها و غیره است.

هندسه فضایی

هندسه فضایی (Solid geometry) به هندسه اقلیدسی در فضای سه بعدی اطلاق می‌شود. فضایی که در آن جدا از طول و غرض، ارتفاع نیز وجود دارد. هندسه ی فضایی تا حدود زیادی نیاز به تصورات بالا دارد. کل جهان اطراف ما به صورت سه بعدی و فضایی است. هر حجمی را که می شناسید باید ویژگیهایش در مبحث هندسه ی فضایی محاسبه شود. اشکالی چون کره، مخروط و استوانه از این دسته هستند.

هندسه مطلق

هندسه مطلق((Absolute geometryبه هندسه‌یی که بدون اصل توازی و صرفاً بر اساس چهار اصل اول اقلیدس اثبات می‌شوند. نام هندسهٔ مطلق را برگزید. اما امروزه به این هندسه، بیشتر هندسه نتاری می‌گویند.

هندسه هذلولوی

هندسه‌ هذلولوی یکی از هندسه‌های نا اقلیدسی است که به هندسه‌ لباچفسکی نیز مشهور است. نام انگلیسی این نوع هندسه, یعنی (Hyperbolic), از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن" گرفته شده است که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها در اصل توازی افزایش می‌یابد.

هندسه نتاری

اقلیدس 28 قضیه نخست اصول خود را بر اساس چهار اصل موضوع نخست اثبات کرد و از قضیه 29 بود که استفاده از اصل پنجم آغاز می‌شود. در واقع پس از آن که اصل توازی موجب انشقاق هندسه شد ریاضی‌دان‌ها هندسهٔ بدون استفاده از اصل توازی ابداع کردند که به آن هندسهٔ نتاری می‌گویند. اگر به خواهیم بر اساس "مبانی هندسه" هیلبرت تعریف خود را گسترش دهیم. هندسهٔ نتاری مربوط به آن قضایای می‌شود که با استفاده از بنداشت‌های وقوع، میانبود، قابلیت انطباق و پیوستگی و بدون استفاده از بنداشت توازی ثابت شوند. یانوش بویویی به این نوع هندسه، هندسهٔ مطلق می‌گفت اما و. پرنوویچ و م. جردن نام نتاری را برای آن برگزیدند.


هندسه‌ نااقلیدسی

هندسه‌ نااقلیدسی هندسه‌هایی که اقلیدسی نیستند از مطالعهٔ عمیق‌تر موضوع توازی در هندسهٔ اقلیدسی پیدا شده‌اند. دو نیم‌خط موازی عمود بر پاره خط PQ را در نظر بگیرد. در هندسهٔ اقلیدسی فاصلهٔ (عمودی) بین دو نیم‌خط هنگامی که به سمت راست حرکت می‌کنیم فاصلهٔ p تا Q باقی می‌مانند؛ ولی در اوایل سدهٔ نوزدهم دو هندسه‌ی دیگر پیشنهاد شد. یکی هندسهٔ هذلولوی (از کلمهٔ یونانی هیپربالئین به معنی "افزایش یافتن") که در آن فاصلهٔ میان نیم‌خط‌ها افزایش می‌یابد و دیگری هندسهٔ بیضوی (elliptic geometry) (از کلمهٔ یونانی ایپلن "کوتاه شدن") که در آن فاصله رفته رفته کم می‌شود و سرانجام نیم‌خط‌ها هم‌دیگر را می‌برند. این هندسهٔ نااقلیدسی بعدها توسط ک.ف. گاوس و گ. ف. ب. ریمان در قالب هندسهٔ کلی‌تری بسط داده شدند. (همین هندسهٔ کلی‌تر است که در نگرهٔ نسبیت عام اینشتاین مورد استفاده قرار گرفته است.)


هندسه‌ اقليدسی

هندسه‌ اقلیدسی همان هندسه‌یی است که در دوران دبیرستان آموخته‌ایم و شاید تصور می‌کنیم تنها هندسهٔ موجود است. این هندسه را نخستین بار اقلیدس در 300 سال قبل از میلاد در کتاب اصول خود تدوین کرد.

تاریخچه

در حدود 300 سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند. اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی "به طور منطقی" از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها 465 گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

اصول موضوع اقلیدس

از هر نقطه به هر نقطه دیگر می‌توان یک و فقط یک خط راست عبور داد.

خط راست محدود را می‌توان تا به هر اندازه که بخواهیم ادامه دهیم.

با هر مرکز می‌توان دایره‌ای به شعاع دل‌خواه رسم کرد.

تمام زوایای قائمه با هم برابر اند. (اصل موضوع چهارم اقلیدس)

اگر دو خط راست به وسیلهٔ یک خط سوم قطع شوند، در همان طرفی از خط سوم که زوایای داخلی، کوچک‌تر از دو قائمه تشکیل می‌دهند یک‌دیگر را قطع می‌کنند. (اصل توازی اقلیدس)

اصول متعارفی

دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.

اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.

اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.

دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.

کل از جزء بزرگ‌تر است.

پس از اقلیدس

2100 سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌یی که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (1899) کتاب "مبانی هندسه" خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.




+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هفتم اردیبهشت 1389ساعت 13:3  توسط ادریس فتحی  | 

هندسه نااقليدسي و انحناي فضا

علومي كه از يونان باستان توسط انديشمندان اسلامي محافظت و تكميل شد، از قرون يازدهم ميلادي به بعد به اروپا منتقل شد، بيشتر شامل رياضي و فلسفه ي طبيعي بود. فلسفه ي طبيعي توسط كوپرنيك، برونو، كپلر و گاليله به چالش كشيده شد و از آن ميان فيزيك نيوتني بيرون آمد. چون كليسا خود را مدافع فلسفه طبيعي يونان مي دانست و كنكاش در آن با خطرات زيادي همراه بود، انديشمندان كنجكاو بيشتر به رياضيات مي پرداختند، زيرا كليسا نسبت به آن حساسيت نشان نمي داد. بنابراين رياضيات نسبت به فيزيك از پيشرفت بيشتري برخوردار بود. يكي از شاخه هاي مهم رياضيات هندسه بود كه آن هم در هندسه ي اقليدسي خلاصه مي شد.
در هندسه ي اقليدسي يكسري مفاهيم اوليه نظير خط و نقطه تعريف شده بود و پنچ اصل را به عنوان بديهيات پذيرفته بودند و ساير قضايا را با استفاده از اين اصول استنتاج مي كردند. اما اصل پنجم چندان بديهي به نظر نمي رسيد. بنابر اصل پنجم اقليدس از يك نقطه خارج از يك خط، يك خط و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد. برخي از رياضيدانان مدعي بودند كه اين اصل را مي توان به عنوان يك قضيه ثابت كرد. در اين راه بسياري از رياضيدانان تلاش زيادي كردند و نتيجه نگرفتند. خيام ضمن جستجوي راهي براي اثبات "اصل توازي" مبتكر مفهوم عميقي در هندسه شد. در تلاش براي اثبات اين اصل، خيام گزاره هايي را بيان كرد كه كاملا مطابق گزاره هايي بود كه چند قرن بعد توسط واليس و ساكري رياضيدانان اروپايي بيان شد و راه را براي ظهور هندسه هاي نااقليدسي در قرن نوزدهم هموار كرد. سرانجام و پس از دو هزار سال اصولي متفاوت با آن بيان كردند و هندسه هاي نااقليدسي شكل گرفت. بدين ترتيب علاوه بر فلسفه ي طبيعي رياضيات نيز از انحصار يوناني خارج و در مسيري جديد قرار گرفت و آزاد انديشي در رياضيات آغاز گرديد.
اصطلاحات بنيادي رياضيات

طي قرنهاي متمادي رياضيدانان اشياء و موضوع هاي مورد مطلعه ي خود از قبيل نقطه و خط و عدد را همچون كميت هايي در نظر مي گرفتند كه در نفس خويش وجود دارند. اين موجودات همواره همه ي كوششهاي را كه براي تعريف و توصيف شايسته ي آنان انجام مي شد را با شكست مواجه مي ساختند. بتدريج اين نكته بر رياضيدانان قرن نوزدهم آشكار گرديد كه تعيين مفهوم اين موجودات نمي تواند در داخل رياضيات معنايي داشته باشد. حتي اگر اصولاً داراي معنايي باشند.
بنابراين، اينكه اعداد، نقطه و خط در واقع چه هستند در علوم رياضي نه قابل بحث است و نه احتياجي به اين بحث هست. يك وقت براتراند راسل گفته بود كه رياضيات موضوعي است كه در آن نه مي دانيم از چه سخن مي گوييم و نه مي دانيم آنچه كه مي گوييم درست است.
دليل آن اين است كه برخي از اصطلاحات اوليه نظير نقطه، خط و صفحه تعريف نشده اند و ممكن است به جاي آنها اصطلاحات ديگري بگذاريم بي آنكه در درستي نتايج تاثيري داشته باشد. مثلاً مي توانيم به جاي آنكه بگوييم دو نقطه فقط يك خط را مشخص مي كند، مي توانيم بگوييم دو آلفا يك بتا را مشخص مي كند. با وجود تغييري كه در اصطلاحات داديم، باز هم اثبات همه ي قضاياي ما معتبر خواهد ماند، زيرا كه دليل هاي درست به شكل نمودار بسته نيستند، بلكه فقط به اصول موضوع كه وضع شده اند و قواعد منطق بستگي دارند.
بنابراين، رياضيات تمريني است كاملاً صوري براي استخراج برخي نتايج از بعضي مقدمات صوري. رياضيات احكامي مي سازند به صورت هرگاه چنين باشد، آنگاه چنان خواهد شد و اساساً در آن صحبتي از معني فرضها يا راست بودن آنها نيست. اين ديدگاه (صوريگرايي) با عقيده ي كهن تري كه رياضيات را حقيقت محض مي پنداشت و كشف هندسه هاي نااقليدسي بناي آن را درهم ريخت، جدايي اساسي دارد. اين كشف اثر آزادي بخشي بر رياضيدانان داشت.
اشكالات وارد بر هندسه اقليدسي

هندسه ي اقليدسي بر اساس پنچ اصل موضوع زير شكل گرفت:
اصل اول - از هر نقطه مي توان خط مستقيمي به هر نقطه ي ديگر كشيد.
اصل دوم - هر پاره خط مستقيم را مي توان روي همان خط به طور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم - مي توان دايره اي با هر نقطه دلخواه به عنوان مركز آن و با شعاعي مساوي هر پاره خط رسم كرد.
اصل چهارم - همه ي زواياي قائمه با هم مساوي اند.
اصل پنجم - از يك نقطه خارج يك خط، يك خط و و تنها يك خط مي توان موازي با خط مفروض رسم كرد.
اصل پنجم اقليدس كه ايجاز ساير اصول را نداشت، به هيچوجه واجد صفت بديهي نبود. در واقع اين اصل بيشتر به يك قضيه شباهت داشت تا به يك اصل. بنابراين طبيعي بود كه لزوم واقعي آن به عنوان يك اصل مورد سئوال قرار گيرد. زيرا چنين تصور مي شد كه شايد بتوان آن را به عنوان يك قضيه نه اصل از ساير اصول استخراج كرد، يا حداقل به جاي آن مي توان معادل قابل قبول تري قرار داد.
در طول تاريخ رياضيدانان بسياري از جمله، خواجه نصيرالدين طوسي، جان واليس، لژاندر، فوركوش بويوئي و ... تلاش كردند اصل پنجم اقليدس را با استفاده از ساير اصول نتيجه بگيرنر و آن را به عنوان يك قضيه اثبات كنند. اما تمام تلاشها بي نتيجه بود و در اثبات دچار خطا مي شدند و به نوعي همين اصل را در اثباط خود به كار مي بردند. دلامبر اين وضع را افتضاح هندسه ناميد.
يانوش بويوئي يكي از رياضيدانان جواني بود كه در اين را تلاش مي كرد. پدر وي نيز رياضيداني بود كه سالها در اين اين مسير تلاش كرده بود .
و طي نامه اي به پسرش نوشت: تو ديگر نبايد براي گام نهادن در راه توازي ها تلاش كني، من پيچ و خم اين راه را از اول تا آخر مي شناسم. اين شب بي پايان همه روشنايي و شادماني زندگي مرا به كام نابودي فرو برده است، التماس مي كنم دانش موازيها را رها كني.
ولي يانوش جوان از اخطار پدير نهرسيد، زيرا كه انديشه ي كاملاً تازه اي را در سر مي پروراند. او فرض كرد نقيض اصل توازي اقليدس، حكم بي معني اي نيست. وي در سال 1823 پدرش را محرمانه در جريان كشف خود قرار داد و در سال 1831 اكتشافات خود را به صورت ضميمه در كتاب تنتامن پدرش منتشر كرد و نسخه اي از آن را براي گائوس فرستاد. بعد معلوم شد كه گائوس خود مستقلاً آن را كشف كرده است.
بعدها مشخص شد كه لباچفسكي در سال 1829 كشفيات خود را در باره هندسه نااقليدسي در بولتن كازان، دو سال قبل از بوئي منتشر كرده است. و بدين ترتيب كشف هندسه هاي نااقليدسي به نام بويوئي و لباچفسكي ثبت گرديد.
هندسه هاي نا اقليدسي

اساساً هندسه نااقليدسي چيست؟ هر هندسه اي غير از اقليدسي را نا اقليدسي مي نامند. از اين گونه هندسه ها تا به حال زياد شناخته شده است. اختلاف بين هندسه هاي نا اقليدسي و اقليدسي تنها در اصل توازي است. در هندسه اقليدسي به ازاي هر خط و هر نقطه نا واقع بر آن يك خط مي توان موازي با آن رسم كرد.
نقيض اين اصل را به دو صورت مي توان در نظر گرفت. تعداد خطوط موازي كه از يك نقطه نا واقع بر آن، مي توان رسم كرد، بيش از يكي است. و يا اصلاً خطوط موازي وجود ندارند. با توجه به اين دو نقيض، هندسه هاي نا اقليدسي را مي توان به دو گروه تقسيم كرد.
يك - هندسه هاي هذلولوي

هندسه هاي هذلولوي توسط بويوئي و لباچفسكي بطور مستقل و همزمان كشف گرديد.
اصل توازي هندسه هذلولوي - از يك خط و يك نقطه ي نا واقع بر آن دست كم دو خط موازي با خط مفروض مي توان رسم كرد.
دو - هندسه هاي بيضوي

در سال 1854 فريدريش برنهارد ريمان نشان داد كه اگر نامتناهي بودن خط مستقيم كنار گذاشته شود و صرفاً بي كرانگي آن مورد پذيرش واقع شود، آنگاه با چند جرح و تعديل جزئي اصول موضوعه ديگر، هندسه سازگار نااقليدسي ديگري را مي توان به دست آورد. پس از اين تغييرات اصل توازي هندسه بيضوي بصورت زير ارائه گرديد.
اصل توازي هندسه بيضوي - از يك نقطه ناواقع بر يك خط نمي توان خطي به موازات خط مفروض رسم كرد.
يعني در هندسه بيضوي، خطوط موازي وجود ندارد. با تجسم سطح يك كره مي توان سطحي شبيه سطح بيضوي در نظر گرفت. اين سطح كروي را مشابه يك صفحه در نظر مي گيرند. در اينجا خطوط با دايره هاي عظميه كره نمايش داده مي شوند. بنابراين خط ژئودزيك يا مساحتي در هندسه بيضوي بخشي از يك دايره عظيمه است.
در هندسه بيضوي مجموع زواياي يك مثلث بيشتر از 180 درجه است. در هندسه بيضوي با حركت از يك نقطه و پيمودن يك خط مستقيم در آن صفحه، مي توان به نقطه ي اول باز گشت. همچنين مي توان ديد كه در هندسه بيضوي نسبت محيط يك دايره به قطر آن همواره كمتر از عدد پي است.
انحناي سطح يا انحناي گائوسي

اگر خط را راست فرض كنيم نه خميده، چنانچه ناگزير باشيم يك انحناي عددي k به خطي نسبت دهيم براي خط راست خواهيم داشت k=o انحناي يك دايره به شعاع r برابر است با k=1/r.
تعريف مي كنند. همچنين منحني هموار، منحني اي است كه مماس بر هر نقطه اش به بطور پيوسته تغيير كند. به عبارت ديگر منحني هموار يعني در تمام نقاطش مشتق پذير باشد.
براي به دست آوردن انحناي يك منحني در يك نقطه، دايره بوسان آنرا در آن نقطه رسم كرده، انحناي منحني در آن نقطه برابر با انحناي دايره ي بوسان در آن نقطه است. دايره بوسان در يك نقطه از منحني، دايره اي است كه در آن نقطه با منحني بيشترين تماس را دارد. توجه شود كه براي خط راست شعاع دايره بوسان آن در هر نقطه واقع بر آن بينهايت است.
براي تعيين انحناي يك سطح در يك نقطه، دو خط متقاطع مساحتي در دو جهت اصلي در آن نقطه انتخاب كرده و انحناي اين دو خط را در آن نقاط تعيين مي كنيم. فرض كنيم انحناي اين دو خط
k1=1/R1 and k2=1/R2
باشند. آنگاه انحناي سطح در آن نقطه برابر است با حاصلضرب اين دو انحنا، يعني :
k=1/R1R2
انحناي صفحه ي اقليدسي صفر است. همچنين انحناي استوانه صفر است:
k=o
براي سطح هذلولوي همواره انحناي سطح منفي است :
k
براي سطح بيضوي همواره انحنا مثبت است :
k>o

مفهوم و درك شهودي انحناي فضا

سئوال اساسي اين است كه كدام يك از اين هندسه هاي اقليدسي يا نا اقليدسي درست است؟

پاسخ صريح و روشن اين است كه بايد انحناي يك سطح را تعيين كنيم تا مشخص شود كدام يك درست است. بهترين دانشي كا مي تواند در شناخت نوع هندسه ي يك سطح مورد استفاده و استناد قرار گيرد، فيزيك است. يك صفحه ي كاغذ برداريد و در روي آن دو خط متقاطع رسم كنيد. سپس انحناي اين خطوط را در آن نقطه تعيين كرده و با توجه به تعريف انحناي سطح حاصلضرب آن را به دست مي آوريم. اگر مقدار انحنا برابر صفر شد، صفحه اقليدسي است، اگر منفي شد مي گوييم صفحه هذلولوي است و در صورتي كه مثبت شود، ادعا مي كنيم كه صفحه بيضوي است .
در كارهاي معمولي مهندسي نظير ايجاد ساختمان يا ساختن يك سد بر روي رودخانه، انحناي سطح مورد نظر برابر صفر است، به همين دليل در طول تلريخ مهندسين همواره از هندسه اقليدسي استفاده كرده اند و با هيچگونه مشكلي هم مواجه نشدند. يا براي نقشه برداري از سطح يك كشور اصول هندسه ي اقليدسي را بكار مي برند و فراز و نشيب نقاط مختلف آن را مشخص مي كنند. در اين محاسبات ما مي توانيم از خطكش هايي كه در آزمايشگاه يا كارخانه ها ساخته مي شود، استفاده كنيم. حال سئوال اين است كه اگر خطكش مورد استفاده ي ما تحت تاثير شرايط محيطي قرار بگيرد چه بايد كرد؟ اما مي دانيم از هر ماده اي كه براي ساختن خطكش استفاده كنيم، شرايط فيزيكي محيط بر روي آن اثر مي گذارد. البته با توجه با تاثير محيط بر روي خطكش ما تلاش مي كنيم از بهترين ماده ي ممكن استفاده كنيم. بهمين دليل چوب از لاستيك بهتر است و آهن بهتر از چوب است.
اما براي مصافتهاي دور نظير فواصل نجومي از چه خطكشي (متري) مي توانيم استفاده كنيم؟ طبيعي است كه در اينجا هيچ خطكشي وجود ندارد كه بتوانيم با استفاده از آن فاصله ي بين زمين و ماه يا ستارگان را اندازه بگيريم. بنابراين بايد به ساير امكاناتي توجه كنيم كه در عمل قابل استفاده است. اما در اينجا چه امكاناتي داريم؟ بهترين ابزار شناخته شده امواج الكترومغناطيسي است. اگر مسير نور در فضا خط مستقيم باشد، در اينصورت با جرت مي توانيم ادعا كنيم كه فضا اقليدسي است. براي پي بردن به نوع انحناي فضا بايد مسير پرتو نوري را مورد بررسي قرار دهيم .
اما تجربه نشان مي دهد كه مسير نور هنگام عبور از كنار ماده يعني زماني كه از يك ميدان گرانشي عبور مي كند، خط مستقيم نيست، بلكه منحني است. بنابراين فضاي اطراف اجسام اقليدسي نيست. به عبارت ديگر ساختار هندسي فضا نااقليدسي است.







+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هفتم اردیبهشت 1389ساعت 12:39  توسط ادریس فتحی  | 

مختصات دکارتی


مختصات دکارتی متشکل از دستگاهی با محورهای مختصات متصاعد ox, oy, oz دستگاه راستگرد نامیده می‌شود وقتی که اگر مارپیچی را که به راست پیچیده شده است در سراسر محور oz و در سوی آن قرار دهیم و لبه آچار را از ox بطرف oy به اندازه مثلا 90 درجه بچرخانیم پیچ به جلو برود. برای خواندن مختصات دکارتی یک نقطه p از فضا بر آن صفحاتی عمود بر محورها بگذرانیم و هر یک مختصات را با مقیاس روی محور مربوط به آن تعیین می‌کنیم. مؤلفه‌های y,z تمام نقاط واقع بر محور x ها صفر هستند، یعنی بصورت (x,0,0) نقاط واقع در صفحه‌ای عمود بر محور z ها ، همه دارای یک z می‌باشند بدین ترتیب z=5 معادله‌ای است که نقطه (x,y,5) واقع در صفحه عمود بر محور z ها و به فاصله 5 واحد بالا صفحه xy در آن صادق است.
سه صفحه x=2, y=3, z=5 در نقطه (2,0,5)p تلاقی می‌کنند. صفحه yz بوسیله x=0 مشخص می‌شوند. سه صفحه مختصات ، فضا را به هشت ناحیه تقسیم می‌کنند که هر یک فضای "یک هشتم" نامیده می‌شود. "یک هشتمی" که در آن هر سه مختصات مثبت باشد یک هشتم اول نامیده می‌شود، اما برای هفت یک هشتم دیگر هیچ شماره قراردادی وضع نشده است.

مختصات استوانه‌ای
برای تعیین محل نقطه‌ای در فضا با استفاده از مختصات استوانه‌ای (r, θ,z) غالبا بهتر است. بویژه ، این مختصات هنگامی که در یک مسأله فیزیکی محور تقارنی وجود داشته باشد مناسب هستند. اساسا مختصات استوانه‌ای درست همان مختصات قطبی (r, θ) هست که بجای (x,y) در صفحه z=0 بکار برده می‌شود و بانضمام مختص z مختصات استوانه‌ای و دکارتی بوسیله روابط آشنای زیر به هم مربوط‌اند:






هرگاهr را ثابت نگه داریم و θ و z را تغییر دهیم. آنگاه مکان(r, θ, z) p یک استوانه مستدیر قائم به شعاعr است که محورش بر oz منطبق است. مکان r=0 فقط محورz هاست. مکان: ثابت= θ صفحه‌ای است شامل محور z ها با صفحهxz زاویه θ بسازد.

روابط بین دستگاههای مختصات فضایی
روابط زیر بین دستگاههای مختصات دکارتی ، استوانه ای و کروی وجود دارد:




به هر نقطه فضا می‌توان مختصات کروی محدود به بردهای:




را نسبت داد. به سبب شباهت بین سطح کرده و سطح زمین گاهی محور z ها محور قطبی نامیده می‌شود. در این صورت ، φ متمم عرض و θ طول نامیده می‌شوند، همچنین از مدارها و نصف النهارها و نیم کره‌های شمالی و جنوبی صحبت می‌شود.

+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هفتم اردیبهشت 1389ساعت 12:29  توسط ادریس فتحی  | 

دستگاه مختصات استوانه‌ای

مقدمه
هندسه تحلیلی سه بعدی را ریاضیدانان قرن هفدهم از قبیل فرما ، دکارت و لاهیرا ابداع کردند، ولی دستگاه مختصاتی که امروزه بکار می‌بریم یوهان برنولی در نامه‌ای به لا یب نیتس در 1715 صورت بندی کرد. در قرن هجدهم آلکسی کلرو (1713-1765). لئو نهارت اویکر (1707-1783) برجسته‌ترین ریاضیدانانی بودند که هندسه سه بعدی را گسترش دادند به خصوص کلرو معلوم ساخت که یک رویه را می‌توان با معادله‌ای بر حسب سه مختصه نشان داد و برای توصیف خمی در فضا به دوتا از این گونه معادله‌ها لازم است. او ایده‌هایش را در کتاب "تحقیق درباره خمهای با خمیدگی مضاعف" در 1731 مطرح کرد، وی در این کتاب معادلات چندین رویه درجه دوم از قبیل کره ، استوانه ، هذلولی‌وار و بیضی‌وار را آورد. توجه او در نهایت به شکل زمین بود که فکر می‌کرد نوعی بیضی‌وار باشد. گاسپار مونژ هندسه‌دان پیشرو قرن هجدهم نیز مطالب زیادی درباره هندسه تحلیلی سه بعدی و دستگاههای مختصات مربوطه به آنها نوشته است.




استوانه
رویه‌ای که ترسیم آن و نوشتن معادله‌اش از همه رویه‌ها (البته با صرفنظر از صفحه) آسانتر است، استوانه می‌باشد. استوانه دویه‌ای است از همه خطوطی که از یک خم واقع در صفحه می‌گذرند و با خط ثابتی موازی‌اند. در هندسه فضایی ، واژه "استوانه" را به معنی "استوانه مستدیر" به کار می‌برند. هر خم f(x,y)=c واقع در صفحه xy استوانه ای را مشخص می‌کند که موازی محور z است. به همین نحو g(x,y)=c واقع در صفحه xz استوانه‌ای را مشخص می‌کند که موازی محور y هاست و هر خم h(x,y)=c معرف استوانه‌ای در صفحه yz است که موازی محور x است. خلاصه اینکه معادله‌ای بر حسب دو مختص از سه مختص دکارتی مشخص کننده استوانه‌ای است که خطهای موازی با محور مختص سوم آن را می‌سازد.
دستگاه مختصات استوانه‌ای
ممکن است معادله یک رویه در یکی از دستگاههای ساده‌تر از معادله آن در دستگاه دکارتی باشد. در چنین مواردی استفاده از دستگاه نامناسب باعث صرفه جویی در وقت می‌شود. این موضوع در حل انتگرالهای چندگانه اهمیت بیشتری پیدا می‌کند. همان طور که می‌دانید حل برخی انتگرالهای سه گانه در دستگاه دکارتی گاها غیر ممکن می‌باشد، ولی با یک تغییر مختصات ساده به راحتی می‌توانیم به جواب مورد نظر برسیم. در دستگاه مختصات استوانه‌ای ، استوانه‌هایی که محورشان در امتداد محور z هستند معادلات بسیار ساده‌ای دارند. این دستگاه مختصات در فضا از طریق تلفیق مختصات قطبی در صفحه xy با محور z معمولی به دست می‌آید. به این ترتیب به هر نقطه در فضا یک یا چند سه تایی مختصات به صورت (r,θ,z) نسبت داده می‌شود. مقادیر x , y , r , θ در مختصات استوانه‌ای با روابط معمولی زیر به هم مربوط اند:


x=r Sinθ و y=r Cosθ

در واقع توسط روابط فوق می‌توان یک نقطه در دستگاه مختصات دکارتی را به دستگاه مختصات استوانه‌ای منتقل کرد. در مختصات استوانه‌ای معادله r=a فقط دایره‌ای در صفحه xy را مشخص نمی‌کند بلکه استوانه‌ای کامل حول محور z را توصیف می‌کند. خود محور z با معادله r=0 معین می‌شود. معادله θ=θ0 توصیف کننده صفحه‌ای است که شامل محور z است و زاویه‌ای به اندازه θ0 رادیان با قسمت مثبت محور x می‌سازد.
چند رابطه که مختصات دکارتی ، استوانه‌ای و کروی را به هم مربوط می‌سازند.


r=ρ Sinφ و z=ρ Cosφ

y=r Sinθ = ρ Sinφ Sinθ و x=r Cosθ = ρ Sinφ Sinθ

+ نوشته شده در  دوشنبه بیست و هفتم اردیبهشت 1389ساعت 11:51  توسط ادریس فتحی  | 

اصل کاوالیری در مورد حجمها

اصل کاوالیری در باره حجم ها

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.
خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»
این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.
کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.
ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.
طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد…
به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.
یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند

+ نوشته شده در  پنجشنبه بیست و سوم اردیبهشت 1389ساعت 15:11  توسط حمید رضا منافی  | 

اصل کاوالیری در مورد مساحتها

بوتاون تورا کاوالیری (1564-1642) اهل میلان، از همان سال های نخستین به ریاضیات علاقه مند بود،و به ظاهر زیر تاثیر گالیله، روش « غیر قابل تقسیم ها» را در هندسه بوجود آورد که در اثر بزرگ او در سال 1635،  با عنوان «هندسه، با طرح تازه ای بر اساس غیر قابل تقسیم های پیوسته»، به شهرت رسید.

غیر قابل تقسیم ها، از نظر کاوالیری، وترهای موازی در درون شکل روی صفحه، و صفحه های موازی در درون جسم بود. او برای مقایسه ی شکل های روی صفحه و جسم های فضایی، مفهوم « مجموع همه ی غیر قابل تقسیم ها» را آورد که تماس سطح و فضای جسم را پر می کردند.

برای کاوالیری، نسبت این مجموع ها، همان نسبت مساحت ها و حجم ها بود. او شکل های روی صفحه را، بین دو خط راست موازی در نظر گرفت.

اصل کاوالیری درباره مساحت:

اگر فرض کنیم قاعده های دو شکل بر روی یک خط قرار گرفته باشند. اگر هر خطی موازی قاعده های دو شکل در آنها قطعه هایی با طول های مساوی ایجاد کند، مساحت های آن دو شکل برابر است.

با توجه به شکل دو شکل بر روی افق قرار گرفته اند. اگرهر خطی به موازات قاعده مانند d  رسم کنیم و داشته باشیم: AB=CD، MN=PE ، آنگاه دو شکل هم مساحت هستند.

اصل کاوالیری در باره حجم ها:

دو شکل فضایی و صفحه ای که قاعده های دو شکل در آن قرار گرفته باشد را نظر بگیرید. اگر هر صفحه ای موازی با این صفحه که یکی از این دو شکل را قطع می کند، دیگری را نیز قطع می کند و سطح مقطع های حاصل دارای مساحت های برابر باشند، آنگاه این دو شکل فضایی حجم یکسان دارند.

خود کاوالیری در این زمینه می نویسد: «دو جسمی که قاعده ی آنهای بر یک صفحه و ارتفاعشان برابر باشد، به شرطی هم ارزند یعنی حجم های برابر دارند که مقطع های آنهابا صفحه های موازی با قاعده باشد.»

این نظام کار، به نام «نظام کاوالیری» معروف است.

کاوالیری بر پایه ی این نظام، قضیه های زیادی را اثبات می کند. برای نمونه، ثابت کرد نسبت مساحت های دو مثلث متشابه برابر است با نسبت مجذور ضلع های متناظر آن ها.

ابهامی که در مفهوم «مجموع غیر قابل تقسیم ها» وجود دارد، موجب اعتراض و انتقاد سخت بعضی از هم عصران کاوالیری شد. به همین خاطر کاوالیری کتاب دیگری با نام «شش طرح هندسی» را نوشت که در آن، تلاش کرد مفهوم هایی را که بکار می برد، دقیق تر کند، با وجود این، خود کاوالیری تا پایان زندگی نسبت به کافی بودن استدلالهای خود در تردید باقی بود، گرچه به درستی آن ها اعتقاد داشت.

طرح کاوالیری در هندسه و آموزش او درباره ی غیر قابل تقسیم ها، تنها برای درک بهتر هندسه ی مقدماتی سودمند نبود. این آموزش، یعنی جمع کردن غیر قابل تقسیم ها، پیش در آمدی برای انتگرال گیری بود. کاوالیری نماد انتگرال را بکار نمی برد، ولی در واقع از انتگرال گیری استفاده می کرد...

به جز این، در هندسه ی کاولیری به قضیه هایی بر می خوریم که برای پیدایش محاسبه ی دیفرانسیلی، ارزش معینی دارند. از آن جمله، نخستین گزاره ای که در هندسه آمده، هم ارز با قضیه رول است، و به دنبال آن گزاره ای آمده است که مضمون آن اینست: در نقطه های ماکزیمم و می نیمم تابع، مماس بر نمودار با محور طول ها موازی است.

یکی از کمبود های جدی هندسه ی کاوالیری این است که مولف از بکارگیری جبر فراری است و همه جا به هندسه دانان قدیمی تکیه می کند. بی تردید، بکار گیری نمادهای جبری که در زمان کاوالیری رایج شده بود، می توانست کارهای او را دقیق تر، کامل تر و قابل درک تر کند.

 

+ نوشته شده در  پنجشنبه بیست و سوم اردیبهشت 1389ساعت 14:55  توسط حمید رضا منافی  | 

نقاط اویلری (Euler Points)

نقاط اویلری، نقاط میانی (midpoints) E_A, E_B و E_C پاره خط های متصل به رئوس A, B و C مثلث DeltaABC هستند و H محل تقاطع ارتفاعات مثلث (orthocenter) است. این نقاط سه نقطه از مجموع ۹ نقطه ای از مثلث مفروض هستند که یک دایره ی نه-نقطه ای  (nine-point circle) - یعنی دایره ای که در نه نقطه از این مثلث می گذرد - آن را تشکیل می دهد. نقاط اویلری  مثلث اویلری  DeltaE_AE_BE_C (Euler triangle) را می سازند.

با در نظر گرفتن مثلث DeltaABC مثلث پادک (orthic triangle) DeltaH_AH_BH_C را رسم می کنیم. سپس خطوط اویلری (Euler lines) متعلق به سه  مثلث گوشه ای DeltaAH_BH_C و DeltaBH_CH_A و  DeltaCH_AH_B را از میان نقاط اویلری عبور می دهیم تا در نقطه ی P واقع بر روی دایره ی نه-نقطه ای به همدیگر برسند، به طوریکه یکی از روابط

0 = -PH_A+PH_B+PH_C                  

0 = PH_A-PH_B+PH_C                    

0 = PH_A+PH_B-PH_C                    

همواره برقرار است (Thébault 1947, 1949; Thébault et al. 1951).

منابع:

onsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 6, 1995.

Thébault, V. "Concerning the Euler Line of a Triangle." Amer. Math. Monthly 54, 447-453, 1947.

Thébault, V. "Problem 4328." Amer. Math. Monthly 56, 39-40, 1949.

Thébault, V.; Ramler, O. J.; and Goormaghtigh, R. "Solution to Problem 4328: Euler Lines." Amer.

+ نوشته شده در  شنبه هجدهم اردیبهشت 1389ساعت 20:21  توسط حمید رضا منافی  | 

هندسه فضایی

 مبانی ترسیم فنی و حجم شناسی

هندسه فضایی، از روابط بین نقاط و خطوط و صفحه ها در فضا بحث می کند. بنابراین برای داشتن تجسم فضایی مناسب، درک صحیح پرسپکتیوها و حجم شناسی (معماری، طراحی صنعتی، مجسمه سازی و نقاشی) درک و فهم هندسه فضایی (که پایه و مبنای رشته های مذکور است)، بسیار لازم و ضروری است. چرا که هندسه مسطحه که بر روی یک سطح (کاغذ) انجام می گیرد، حالت خاصی از هندسه فضایی است. ما با مفاهیم هندسه فضایی کار داریم و هرگز خود را درگیر مسایل تحلیلی و فرمولی آن نمی کنیم. اطمینان داشته باشید که پایه و الفبای یادگیری ترسیم فنی هنر، ترسیم فنی ساختمانی و صنعتی، پرسپکتیو ها و آگزونومتریک ها، هندسه فضایی است. برای کشیدن احجام و پرسپکتیو ها توسط کامپیوتر، شاید امروزه به خط کش و گونیا و تکنیک کشیدن پرسپکتیو و آگزونومتریک نیاز نباشد، ولی ساختن یک حجم هندسی نسبتا" پیچیده توسط کامپیوتر، بدون درک هندسه فضایی امکان پذیر نیست.

هندسه فضایی شما را وادار به تجسم و یافتن روابط بین نقاط و خطوط و صفحات در فضا می نماید. تجاربی که هندسه فضایی در اختیار می گذارد، شما را در داشتن تجسم بهتر یاری می دهد و می دانیم که خلاصه همه بحث ها در این درس (ترسیم فنی و حجم شناسی) مساوی است با: تجسم.

نقطه:

ساده ترین تعریفی که از نقطه داریم "اثر نوک مداد بر روی کاغذ" است. اما باید توجه داشت که از نظر تئوری، نقطه بدون بعد است. اثر مداد بر روی کاغذ، یک دایره بسیار کوچک خواهد بود. نقطه، آن دایره کوچک نیست، بلکه مرکز آن دایره است.

خط:

از اجتماع چند نقطه در کنار هم، خط بوجود می آید. اگر نقاط در یک امتداد قرار بگیرند، خط بوجود آمده، خط راست خواهد بود. پس خط را می توان یک مستطیل بسیار کشیده در نظر گرفت که طول آن برابر فاصله اولین نقطه تا آخرین نقطه آن است، ولی عرض آن فقط به اندازه بعد یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس خط فقط دارای یک بعد در امتداد طولش است.

صفحه:

از اجتماع خطوط در یک امتداد و در کنار هم، صفحه تشکیل می شود. پس صفحه را می توان یک مکعب مستطیل در نظر گرفت که طول و عرض آن به خطوطی محدود می شود، ولی ارتفاع (ضخامت) آن به اندازه یک نقطه است و چون نقطه بعد ندارد، پس صفحه از لحاظ تئوری فقط دارای طول و عرض است و ضخامت ندارد. یعنی صفحه دو بعدی است.

فضا:

از اجتماع چند صفحه به موازات هم و در کنار هم، فضا بوجود می آید. البته فضا به خودی خود وجود دارد و منظور ما، فقط تصورش به این صورت است. مثلا مکعب یک جسم فضایی است که از اجتماع چندین صفحه مربع شکل در کنار هم تشکیل شده است. گفتیم که نقطه بدون بعد است. خط یک بعد (محور X) و صفحه دو بعد دارد (محورهای X و Y). پس فضا دارای سه بعد است (محورهای X و Y و X).

وقتی می خواهیم یک نقطه را روی یک خط نشان دهیم، با داشتن یک مقدار، یعنی X قابل شناسایی است. وقتی می خواهیم همان نقطه را روی یک صفحه پیدا کنیم باید دو مقدار X و Y را داشته باشیم. همان نقطه در یک فضا باید دارای مقادیر X و Y و Z باشد تا قابل شناسایی شود.

مفهوم خط و صفحه در فضا:

وقتی که از خط و صفحه در یک فضا صحبت می کنیم، منظورمان از خط، خطی است که از دو طرف نامحدود است. در صورتی که خط به دو نقطه A و B محدود شود، دیگر خط نیست، "پاره خط" است. ولی از نظر لفظی عادت کرده ایم که بگوییم یا بنویسیم "خط AB" (در صورتی که پاره خط AB صحیح تر است). در مورد صفحه نیز به همین صورت است. صفحه از هر طرف نامحدود است، به طوری که اگر در یک فضا (که بی کران است)، یک صفحه فرض کنیم، این صفحه فضا را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر صفحه ای به خطوطی از هر طرف محدود شود، بهتر است به آن "وجه" بگوییم.

نیم خط:

اگر نقطه ای روی یک خط در نظر بگیریم، خط توسط آن نقطه به دو نیم خط تقسیم شده است. به عبارت دیگر خطی که از یک طرف نامحدود و از طرف دیگر به نقطه ای محدود شده باشد، "نیم خط" نامیده می شود.

نیم صفحه:

اگر در یک صفحه، خط راستی را فرض کنیم، آن خط، صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم کرده است. به عبارت دیگر صفحه ای که از یک طرف به یک خط محدود شده باشد، "نیم صفحه" نامیده می شود.

نیم فضا:

هرگاه در یک فضا، صفحه ای را در نظر بگیریم، آن صفحه فضا را به دو نیم فضا تقسیم کرده است. (به آن صفحه مرز نیم فضا می گویند). به عبارت دیگر فضایی که از یک سمت به صفحه ای محدود شده باشد، "نیم فضا" نامیده می شود.

ویژگی های نیم فضا:

  • اگر دو نقطه در یک نیم فضا در نظر بگیریم، پاره خطی که آن دو نقطه را به هم وصل می کند، در همان نیم فضا واقع است.
  • اگر یک نقطه در یک نیم فضا و نقطه ای دیگر در نیم فضای دیگر باشد، پاره خطی که این دو نقطه را به هم وصل می کند، مرز نیم فضا را در یک نقطه قطع می کند.

اوضاع نسبی دو خط در فضا:

  • متقاطع (دو خط همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند).
  • موازی (دو خط در یک صفحه واقعند ولی با هم تقاطع نمی کنند).
  • متنافر (دو خط با هم تقاطع نمی کنند و در یک صفحه نیستند. به عبارت دیگر نه موازی و نه متقاطعند).

اوضاع نسبی خط و صفحه:

  • متقاطع (خط و صفحه همدیگر را در یک نقطه قطع می کنند).
  • موازی (خط و صفحه هیچ نقطه اشتراکی ندارند).
  • منطبق (خط روی صفحه است. حالت خاص توازی).

اوضاع نسبی دو صفحه:

  • متقاطع (دو صفحه در یک خط راست اشتراک دارند).
  • موازی (دو صفحه هیچ اشتراکی ندارند).
  • منطبق (صفحه روی صفحه، حالت خاص توازی).

قضایا و مسائل هندسه فضایی:

  1. بر سه نقطه غیر واقع بر یک خط راست، فقط و فقط یک صفحه می گذرد.
  2. بر دو خط متقاطع، فقط و فقط یک صفحه می گذرد.
  3. فصل مشترک دو صفحه متقاطع، یک خط راست است.
  4. اگر خطی با یکی از خطوط صفحه موازی باشد، با آن صفحه موازی است.
  5. هر گاه خطی با صفحه ای موازی باشد، هر صفحه ای که بگذرد و با صفحه مفروض موازی نباشد، آن صفحه را در خطی قطع می کند که با خط مفروض موازی است.
  6. اگر خطی با صفحه ای موازی باشد، هر خطی که از یک نقطه صفحه، موازی آن رسم شود، بر آن صفحه منطبق است.
  7. اگر صفحه ای یکی از دو خط موازی را قطع کند، دیگری را نیز قطع خواهد کرد.
  8. هرگاه خطی با صفحه ای موازی باشد، هر خط موازی با آن خط نیز با آن صفحه موازی است.
  9. دو خط راست موازی با خط سوم، خود موازیند.
  10. اگر خطی با دو صفحه متقاطع موازی باشد، با فصل مشترک آن دو صفحه موازی است.
  11. اگر دو صفحه موازی باشند، هر خط واقع در یک صفحه، با صفحه دیگر موازی است.
  12. هرگاه دو خط غیر موازی از صفحه ای با دو خط از صفحه دیگر موازی باشند، آن دو صفحه موازیند.
  13. اگر دو صفحه با صفحه سومی موازی باشند، خود موازیند.
  14. اگر صفحه ای یکی از دو صفحه موازی را قطع کند، صفحه دیگری را نیز قطع می کند. و فصل مشترک های آن با دو صفحه، دو خط موازیند.
  15. همه خط های هم راسی که با یک صفحه موازی هستند، بر صفحه ای موازی با آن صفحه قرار دارند.
  16. پاره خط های موازی محصور بین دو صفحه موازی، متساویند.
  17. پاره خط های موازی که محصور بین یک خط و صفحه موازی هستند، با هم مساویند.
  18. هرگاه در فضا، اضلاع دو زاویه، نظیر به نظیر موازی و هم جهت باشند، آن دو زاویه مساویند.
  19. زاویه دو خط متنافر: زاویه حاده یا قائمه ای است که از یک نقطه به موازات آن دو خط متنافر رسم می شود. اگر زاویه قائمه باشد، می گوئیم دو خط متنافر بر هم عمودند.
  20. خط عمود بر صفحه: یک خط را عمود بر صفحه گوییم، هرگاه بر تمام خطوط واقع در آن صفحه عمود باشد.
  21. اگرخطی بر دو خط ناموازی از صفحه ای عمود باشد، بر هر خط دیگر از آن صفحه و در نتیجه بر صفحه عمود است.
  22. بر هر نقطه واقع بر یک خط راست یا در خارج آن، یک صفحه و فقط یک صفحه عمود بر آن خط می توان رسم کرد.
  23. بر هر نقطه، یک خط و فقط یک خط، عمود بر صفحه مفروض عبور می کند.
  24. دو خط عمود بر یک صفحه با هم موازیند.
  25. فاصله نقطه از خط : فاصله یک نقطه از یک خط، عبارت از طول عمودی است که از آن نقطه بر خط رسم می شود.
  26. فاصله نقطه از صفحه: فاصله یک نقطه از یک صفحه عبارت از طول عمودی است که از آن نقطه بر صفحه رسم می شود و این کوتاهترین فاصله نقطه تا صفحه است.
  27. فاصله دو صفحه موازی: عبارتست از طول عمودی که از یک نقطه واقع در یک صفحه، بر صفحه دیگر رسم می شود.
  28. فرجه: هرگاه دو نیم صفحه در مرز مشترک باشند، فضای بین آنها را فرجه می گوییم. به مرز مشترک (خط مشترک) آنها "یال"، و به صفحه های آنها "وجه" می گوییم.
  29. زاویه مسطحه فرجه: هرگاه از نقطه ای مانند O روی یال دو وجه فرجه، دو خط عمود (OX و OY) بر یال رسم کنیم، به طوریکه هر یک از عمودها در یکی از وجه های فرجه واقع شود، زاویه بین این دو عمود را زاویه مسطحه فرجه می نامند. به عبارت دیگر اگر صفحه ای را عمود بر یال فرجه بگذرانیم، زاویه ای را که از تقاطع فرجه روی این صفحه تشکیل می شود، زاویه مسطحه فرجه گوییم.
  30. زاویه دو صفحه: اگر دو صفحه، متقاطع باشند، از تقاطع آنها چهار فرجه پدید می آید که دو به دو باهم برابرند و زاویه دو صفحه، زاویه مسطحه فرجه حاد یا قائمه بین دو صفحه می باشد.
  31. اگر خطی بر صفحه ای عمود باشد، هر صفحه ای که بر آن خط بگذرد، بر صفحه مفروض عمود است.
  32. اگر دو صفحه بر هم عمود باشند، هر خط که در یکی از آنها بر فصل مشترکشان عمود باشد، بر صفحه دیگر عمود است.
  33. اگر دو صفحه بر هم عمود باشند، هر خط عمود بر یکی از آنها با دیگری موازی است.
  34. اگر دو صفحه متقاطع، بر صفحه ای عمود باشند، فصل مشترک آنها بر آن صفحه عمود است. (و برعکس).
  35. بر هر خط که بر صفحه ای عمود نباشد، یک صفحه و فقط یک صفحه (نه بیشتر)، عمود بر صفحه مفروض می گذرد.
  36. تصویر یک خط راست بر یک صفحه، یک خط راست است به شرط آنکه بر آن صفحه عمود نباشد. (اگر بر صفحه عمود باشد، تصویرش یک نقطه خواهد بود).
  37. برای یافتن تصویر یک خط بر یک صفحه، کافی است که بر آن خط، صفحه ای بگذرانیم که بر صفحه مفروض عمود باشد. فصل مشترک این دو صفحه، خطی است که همان تصویر خط مذکور است.
  38. اگر دو خط باهم موازی باشند، تصویر آنها بر هر صفحه ای باهم موازی یا بر هم منطبق است.
  39. اگر دو پاره خط باهم موازی و مساوی باشند، تصویر آنها بر هر صفحه ای باهم موازی و مساوی است.
  40. تصویر وسط هر پاره خط، وسط تصویر همان پاره خط است.
  41. تصویر زاویه قائمه بر صفحه ای که با یک ضلع آن موازی و بر ضلع دیگر آن عمود نباشد، یک زاویه قائمه است. (اگر بر ضلع دیگر عمود باشد، یک خط می شود).
  42. هرگاه تصویرهای دو خط بر یک صفحه، بر هم عمود باشند و یکی از آن دو خط با صفحه تصویر موازی باشد، آنگاه آن دو خط بر یکدیگر عمودند.
  43. هرگاه تصویر زاویه قائمه ای بر یک صفحه، زاویه قائمه باشد، حداقل یکی از اضلاع آن زاویه با صفحه تصویر موازی است.
  44. عمود مشترک دو خط متنافر: پاره خطی است که دو سر آن واقع بر دو خط متنافر و بر هر دو عمود می باشد. عمود مشترک دو خط متنافر، کوتاهترین پاره خط بین این دو خط است.
  45. مرکز تقارن یک حجم: هرگاه در یک حجم، نقطه ای پیدا شود که قرینه هر نقطه از حجم نسبت به آن بر خود حجم واقع شود، به آن نقطه مرکز تقارن می گوییم.
  46. محور تقارن یک حجم: هرگاه در یک حجم بتوان خطی پیدا کرد که قرینه هر نقطه از حجم نسبت به آن خط بر خود حجم واقع شود، به آن خط، محور تقارن گوییم.
  47. کنج: اجتماع چند زاویه را که در یک ضلع و راس، مشترک و هیچ دو زاویه ای در یک صفحه واقع نباشد، کنج گوییم.
  48. مشخصات کنج: راس مشترک را راس کنج و هریک از اضلاع زاویه ها را یال کنج و صفحه هر زاویه را وجه کنج گوییم.
  49. کنج منتظم: به کنجی می گوییم که زاویه وجه های آن باهم برابر باشند.
  50. کنج سه قائمه: کنج سه وجهی که زاویه های آن قائمه باشد. (مکعب، ۸ کنج سه قائمه دارد).
  51. هرم: هرگاه از لبه های یک شکل مسطح هندسی به نقطه ای خارج از صفحه شکل هندسی وصل کنیم، هرم حاصل می شود.
  52. منشور: هرگاه یک شکل مسطح هندسی را توسط برداری غیرموازی با صفحه شکل هندسی جابجا کنیم و سپس لبه های شکل اول را با خطوطی موازی با جهت جابجایی به لبه های شکل دوم وصل کنیم، منشور حاصل خواهد شد.
  53. منشور قائم: منشوری است که یال ها بر قاعده عمود است.
  54. منشور مایل: منشوری است که یال ها بر قاعده عمود نیست.
  55. مقطع هرم، با هر صفحه موازی با قاعد، یک چند ضلعی است که با قاعده متشابه است.
  56. اگر دو صفحه موازی باشد، هر خط موازی با یکی از آنها، با دیگری نیز موازی است.
  57. اگر یکی از دو خط موازی، بر صفحه ای عمود باشد، دیگری نیز بر آن صفحه عمود است.
  58. همه خط هایی که از یک نقطه می گذرند و با خطی زاویه قائمه تشکیل می دهند، در صفحه ای هستند که بر خط مفروض عمود است. (توجه کنید که دو خط عمود بر هم لزومی ندارد متقاطع باشند. ممکن است متنافر باشند).
  59. اگر یکی از دو صفحه متوازی، بر صفحه ای عمود باشد، دیگری نیز بر آن صفحه عمود است.
  60. مقطع های دو صفحه موازی با سطح منشوری، دو چند ضلعی مساوی است.

برای آزمون قدرت تجسم خویش، به سوالات زیر پاسخ دهید:

  • چگونه عمود مشترک دو خط متنافر را بوسیله صفحات و تقاطع آنها پیدا کنیم؟
  • بر یک نقطه خارج از یک صفحه، چند خط موازی با آن صفحه می توان رسم کرد؟
  • بر یک نقطه خارج از یک خط، چند صفحه موازی با آن خط می گذرد؟
  • یک خط، بین یک نقطه و صفحه قرار گرفته است. اگر آن نقطه، مرکز یک لامپ باشد، سایه خط بر روی صفحه چگونه به دست می آید؟ در چه صورت خط با سایه اش که بر روی صفحه است موازی خواهد بود؟
  • بر یک نقطه خارج از یک صفحه، چند صفحه موازی با آن صفحه می توان در نظر گرفت؟
  • آیا بر خطی غیر موازی با یک صفحه، می توان صفحه ای گذراند که با صفحه مذکور موازی باشد؟ عمود چطور؟
  • در هر نقطه از یک خط، چند عمود بر آن خط می توان در نظر گرفت؟ (بحث ما در فضا است).
  • از هر نقطه واقع در خارج یک خط، چند خط مرور می کند که با آن زاویه قائمه بسازد؟ (خطوط متنافر فراموش نشود).
  • از هر نقطه واقع در خارج یک صفحه، چند صفحه عمود بر آن صفحه می گذرد؟
  • دو نقطه A و B روی سطح یک کره می باشند. چند نقطه روی کره می توان پیدا کرد که از این دو نقطه به یک فاصله باشند؟ (مکان هندسی این نقاط چه شکلی خواهند داشت؟)

.........................................................................................................................

گرد آوری: مهندس وحید صدرام

+ نوشته شده در  سه شنبه چهاردهم اردیبهشت 1389ساعت 15:52  توسط حمید رضا منافی  | 

قضیه ی دزارگ

صورت قضیه:

اگر دو مثلث ABC و 'A'B'C در یک صفحه طوری قرار گرفته باشند که خطهای واصل راسهای متناظر آنها در

نقطه‌ای چون O همرس باشند، آنگاه ضلعهای متناظر، اگر امتداد یابند، یکدیگر را در سه نقطه همخط قطع

می‌کنند.

شکل زیر این قضیه را نشان می‌دهد:


img/daneshnameh_up/0/0d/desargues.jpg

ثابت می‌کنیم که اگر دو مثلث ABC و 'A'B'C طبق شکل زیر در صفحه قرار گرفته باشند و خطهای گذرنده

از راسهای متناظر آنها یکدیگر را در یک نقطه قطع کنند، آنگاه P، Q، و R، نقاط تلاقی ضلعهای متناظر دو

مثلث، روی یک خط راست واقع‌اند.

img/daneshnameh_up/0/0d/desargues.jpg 

برای اثبات، نخست شکل را چنان تصویر می‌کنیم که Q و R‌ به بی نهایت بروند. پس از تصویر کردن، AB‌ با

'A'B ، و AC با 'A'C موازی خواهند بود و شکل به صورت شکل زیر در می‌آید. برای اثبات قضیه دزارگ در

حالت کلی کافی است آن را برای این نوع خاص از شکل ثابت کنیم. به این منظور فقط لازم است که

محل تلاقی BC و 'B'C نیز به بینهایت برود و بنابراین BC‌ موازی با 'B'C باشد؛ در این صورت P، Q، و R در

واقع همخط خواهند بود (زیرا روی خط در بینهایت قرار خواهند داشت). حال

از 'AB | | A'B نتیجه می‌شود

و

از 'AC | | A'C نتیجه می‌شود

پس ؛ از اینجا نتیجه می‌شود 'BC | | B'C ،

و این همان است که می‌خواستیم ثابت کنیم.

+ نوشته شده در  شنبه هفتم فروردین 1389ساعت 13:10  توسط حمید رضا منافی  | 

مطالب قدیمی‌تر