تاريخچه هندسه
| ||||
+ نوشته شده در جمعه بیست و هشتم اسفند 1388ساعت 23:26 توسط سجاد موسوی
|
X
آشنایی با زیبایی های هندسه
| ||||
اهرام مصر یکی از قدیمیترین ساخته های بشری است که در ان هندسه و ریاضیات به کار رفته است. مجموعه اهرام Giza در مصر که قدمت انها به بیش از 2500 سال پیش از میلاد می رسد یکی از شاهکارهای بشری است که در ان نسبت طلایی به کار
رفته است.
درشکل بالا بزرگ ترین هرم از مجموعه اهرام Giza خیلی ساده کشیده شده است.مثلث قایم الزاویه که با نسبت های این هرم شکل گرفته شده باشد به مثلث قایم مصری یا Egyptian Tria معروف است.
جالب اینجاست که نسبت وتربه ضلع هم کف هرم معادل با نسبت طلایی یعنی دقیقا1.61804 می باشد.این نسبت باعدد طلایی تنها در رقم پنجم اعشار اختلاف داردیعنی چیزی در حدود یک هزارم.
اگر معادله ی فیثاغورث را برای این مثلث قایم الزاویه بنویسیم به معادله ای مانندphi ²= phi+b² خواهیم رسیدکه حاصل جواب ان همان عدد معروف طلایی خواهد بود.(معمولا عدد طلایی را باphi نمایش میدهند.(
طول وتر برای هرم واقعی حدود356 متر طول ضلع مربع قاعده حدود 440 متر می باشد.بنا بر این نسبت356 به220 (معادل نیم ضلع مربع)برابرباعدد1.618 خواهد شد.
کپلر ستاره شناس معروف نیز علاقه ی بسیاریبه نسبت طلایی داشت.به گونه ای که در یکی از کتاب های خود نوشته است:»هندسه دارای دو گنج بسیار بزرگ است که یکی از انها قضیه ی فیثاغورث ودیگری رابطه تقسیم یک پاره خط با نسبت طلایی می باشداولین
گنج را می توا ن به طلا دومی را به جواهر تشبیه کرد.«. تحقیقاتی که او راجع به مثلثی که اضلاع ان به نسبت اضلاع مثلث مصری باشد به حدی بود که امروزه این مثلث به مثلث کپلر نیز معروف است.
جالب این جاست که چند قرن پیش ریاضی دانی مشهور به نام فیبو ناتچی ودرسال1202 درکتاب خود به نام لیبر اباچی چنین مسا له ای را طرح کرد که اگر یک جفت خرگوش هر ماه یک جفت بچه تولید کنند بچه های انها نیز این عمل را انجام دهند وهیچ یک از انها از دنیا نرود،در هر ماه چند جفت خر گوش تولید خوا هد شد؟! البته خر گوش ها تا دو ما هگی قا دربه تولید مثل نیستند .
|
ماده |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
جفت های خر گوش |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
89 |
144 |
جدول بالانشان می دهد که یک جفت خر گوش در طول سال به چه تعدادی افزایش می یابند،ردیف پایینی اعداد این جدول،دنباله ی
فیبو ناتچی نامیده می شود.
با بررسی اعداد این مجموعه درمی یابید که هر عددبرابر با حاصل جمع دو عدد ما قبل است.هم چنین اعداد ردیف 3٫6٫9٫12 زوج هستند.البته در عمل تعداد خرگوش ها به همین صورت افزایش نخواهد یافت .اما این دنباله دراکثر موارد در طبیعت وبه خصوص در گیاهان واقعیت می یا بد.
برای نمونه اگر به درخت کاج دقت کنیم خواهیم دید که میوه ی این درخت به ازای هر هشت ردیفی که به شکل مارپیچ ودر جهت عقربه های ساعت قرارگرفته اند سیزده ردیف مارپیچی ودرخلاف جهت عقربه های ساعت دارند.
اگر هر یک از اعداد مجموعه فیبوناتچی رابر عددقبل از ان تقسیم کنیم،مجموعه ای ازاعداد کسری حاصل می شود خارج قسمت اعشاری این کسرها عبارتند از2 ٫ 1.5 ‚ 1.66 ٫ ...که اگر همین عمل را تا به اخر ادامه دهیم به تدریج به عدد 1.6183 نزدیک خواهیم شد.این عدد همان نسبت طلایی است .
جالب این است که مدتها قبل از فیبو ناتچی یونانی ها نیز به ان دسترسی داشتند.
مستطیل طلایی
مستطیلی است نسبت طول به عرضش برابر با عدد طلایی است. یعنی مستطیلی که طول ان تقریبا 1.62 وعرض ان1 باشد. مستطیل های طلایی همیشه زیباتر مستطیل های دیگراست.
من تعدادی مستطیل با ابعاد متفاوت از کاغذ ها مقوا های رنگی درست کردم ودرکلاس از دوستانم خواستم تا مستطیلی راکه به نظر انها زیبا تر است راانتخاب کنند؛مشاهده کردم که اکثر دانش اموزان مستطیل طلایی را انتخاب کردند یعنی مستطیلی باابعاد 1.62 و1.
بسیاری از هنرمندان به صورت غریزی از نسبت طلایی استفاده می کنند یو نانی ها نیز اشکال طرح هایی را مبنی بر همین نسبت طراحی کرده وساخته اند.
برای نمونه بنای پارتنون درمیدان اکروپلیس واقع درشهر اتن که در قرن پنجم قبل از میلاد وبه دست یونانیان باستان سا خته شده از نسبت های طلایی پیروی می کند.
در دوره رنسانس نیز این نسبت به کار رفته حتی لئو ناردواوینچی دانش مند ونقاش بزرگ تصو یری را که به احتمال زیاد تصویر خودش باشد،کشید که دران از تعداد زیادی مستطیل طلایی به کاربرد.
مستطیل های طلایی در بسیاری از نقاشی هاومجسمه ها بناهای معروف به کار رفته است .بعضی از موسیقی دان ها نیز امکان به کار گیری مجموعه ی فیبوناتچی را بررسی کرده اند .
اهنگ ساز لهستانی به نام بلابارتوک درخلق یک قطعهٔ هنری به نتیجه ی جالبی رسید.او ازاعداداین مجموعه طوری استفاده کرد
که هر شنونده ای به سادگی در خوا هد یافت که ساز های مختلف یکی پس از دیگری با همان اهنگ نواخته می شوندو موسیقی رابه اوج خود می رسانند.
موسیقی دان ها با بررسی این موسیقی دریا فتند که نقطه یاوج اهنگ دقیقا در همان نسبت طلایی به گوش می رسدوهم چنین هر مدخل اهنگ نیز به تبعیت از اعداد مجموعه ی فیبوناتچی درقسمت مشخصی رخ می دهد.
ریاضی دانان نیز مانند هنرمندان به بررسی عددطلایی پرداخته اند. درواقع عدد طلایی را به این ترتیب نیز می توان تعریف کرد:
چون تعداد رادیکال ها بی شمار است پس:
پسg.g=1+g هم چنین:g.g-g-1=0
بنا بر این مقدار تقریبی g برابر است با 1.61803واین همان عددی است که در تقسیم عدد طلایی بدست اوردیم.
عدد طلایی را به صورت زیر نیز می توان تعریف کرد:
زیرا می توان نوشت:
وهم چنین اگر این معادله را حل کنیم همان عددطلایی بدست می اید.
خصوصیات عدد طلایی
دیدید کهg.g=1+g دو طرف تساوی را درg ضرب می کنیم سپس مقدار g.gرا قرار می دهیم( از رابطه ی1) دوباره همین عمل را تکرار می کنیم.از این طریق می توان فرمو لی برای g به توان n
نوشت.
کار برد نسبت طلایی در طبیعت
در طبیعت می توان مثال هایی یافت که دران نسبت طلایی به کار رفته باشد.در ساختمان دانه ی برف وپروانه ها وصدف ها وبسیاری از چیز های دیگر از نسبت طلایی استفاده شده است.
شرح رسم مستطیل طلایی
مربع ABCD را با ضلع دلخواه رسم کنید.وسط ضلع DC رابیا بید وM بنامید.به مرکز Mوبا شعاعMB کمانی بزنید تا امتدادDCراقطع کند وان راN بنامید.ازان نقطه خطی عمود برDCرسم کنید تاامتداد ABراقطع کندو انراQ بنامید.
چهارضلعی AQNDوBQNC مستطیل طلایی هستند.
.:: خطوط موازی و قضیه تالس ::.
خط های متوازی با فاصله های متساوی:
فعالیت:
به یک صفحه کاغذ خط دار از دفترتان نگاه کنید, خطوط موازی با فاصله های یکسان رسم شده اند اکنون روی آن خط راست دلخواهی رسم کنید تا خطوط افقی صفحه کاغذ را قطع کند, این خط راست توسط خطوط افقی به پاره خطهایی تقسیم می شود؛ این پاره خط ها را اندازه بگیرید و نتیجه را بیان کنید.
خطوط موازی روی صفحه کاغذ خط دار, خطهای موازی نقاشی شده در کف یک اتوبان, خطوط موازی ایجاد شده, در نمای یک ساختمان سنگ فرش, خطوط موازی ریل های قطار و ... علاوه بر زیبایی ظاهری دارای کاربردها و خاصیتهای فراوان هستند. در ریاضیات به بررسی علمی این ویژگیها و کاربردهای آن ها در اشکال مختلف می پردازیم.
خاصیت خطوط موازی و متساوی الفاصله:
اگر چند خط متوازی خطی را قطع کنند و بر روی آن ،پاره خط های متساوی به وجود آورند ،این خط ها هر خط دیگری را قطع کنند ،بر روی آن نیز پاره خط های متساوی جدا خواهند کرد.
کاربرد «خاصیت خطوط موازی و به یک فاصله»
از این خاصیت می توان در تقسیم یک پاره خط به قسمتهای مساوی استفاده کرد.
مثال: پاره خط AB با اندازه ی دلخواه را در نظر بگیرید . می خواهیم آنرا به 5 قسمت مساوی تقسیم کنیم.
حل: این عمل به دو صورت انجام می گیرد.
í روش اول: در این روش به ترتیب زیر عمل میکنیم:
1- نیم خط AX را به دلخواه رسم می کنیم.
2- روی این نیم خط ۵ فاصله ی مساوی با شروع از A جدا می کنیم.
3- آخرین نقطه را به B وصل می کنیم واز بقیه ی نقاط موازی این خط می کشیم.
í روش دوم:در این در روش به ترتیب زیر عمل می کنیم.
1- دو نیم خط موازی AX و BY را رسم می کنیم.
2- روی هر کدام پنج قسمت مساوی جدا می کنیم.
3- آخرین نقطه روی نیم AX را به B وصل کرده و از بقیه ی نقاط موازی این خط می کشیم
نکته: با تنظیم فاصله ی بین خطوط موازی و صرف نظر کردن از خط های اضافی می توان پاره خط AB را به نسبت معین 
تقسیم کرد.
مثال: پاره خط AB با اندازه ی دلخواه را در نظر بگیرید، می خواهیم این پاره خط را به نسبت 
تقسیم کنیم.
حل: برای این کار به ترتیب زیر عمل می کنیم:
1- ابتدا مجموع نسبت ها را حساب می کنیم. 7=4+3
2- پاره خط AB را به 7 قسمت مساوی تقسیم می کنیم:
3- با صرف نظر کردن از خطوط موازی اضافی نسبت را روی پاره خط AB بوجود می آوریم.
خطهای موازی و مثلث:
در شکل زیر، M وسط AB و خطهای آبی با هم موازیند.
í آیا نقطه ی N وسط AC است؟ بله (با توجه به خاصیت خطهای موازی و به یک فاصله)
í نسبت 
چه قدر است؟ 1 (چون دو مقدار مساوی هستند)
í آیا AM و AN مساوی هستند؟خیر
í نسبت 
چه قدر است؟ 1 (چون دو مقدار مساوی هستند)
بنابراین می توان نوشت: 
یعنی: MN دو ضلع مثلث را به یک نسبت مساوی قطع می کند.
اکنون به شکل مقابل توجه کنید:
در شکل روبرو، خط MN با ضلع BC موازی است و خطهای آبی موازی و با فاصله های مساوی اند. 
í آیا نقطه ی N وسط AC است؟ خیر
í نسبت چه قدر است؟
í آیا AM و AN مساوی هستند؟ خیر
í نسبت چه قدر است؟
بنابراین می توان نوشت: =
یعنی: MN دو ضلع مثلث را به یک نسبت مساوی قطع می کند
قضیه ی تالس: اگر خطی به موازات یکی از ضلع های مثلثی رسم شود و دو ضلع دیگر را قطع کند،روی آن ها پاره خط های متناسب جدا می کند.
نتیجه ی تالس:
اگر خطی موازی یک ضلع مثلث رسم شود مثلثی به وجود می آید
که اضلا عش با اضلاع مثلث اصلی متناسب است .یعنی:
تالس: ریاضی دان یونانی است(624-548 ق.م)که اولین بار به خاصیت خطوط موازی در مثلث پی برد .
عکس قضیه ی تالس: اگر خطی چنان رسم شود که دو ضلع مثلث را به یک نسبت قطع کند، با ضلع سوم موازی است.
|
1-
2- اگر M و N وسط های اضلاع AB و AC از مثلث ABC باشند آّنگاه
3- پاره خطی که وسط های دو ساق ذوزنقه را به هم وصل می کند برابر است با نصف مجموع دو قاعده .
|
